Определение 1

Принцип Даламбера является в теоретической механике одним из главных принципов динамики. Согласно этому принципу, при условии присоединения силы инерции к активно действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных связей, получается уравновешенная система.

Данный принцип получил название в честь французского ученого Ж. Даламбера, впервые предложившего его формулировку в своем сочинении «Динамика».

Определение принципа Даламбера

Замечание 1

Принцип Даламбера звучит следующим образом: если к воздействующей на тело активной силе прикладывается дополнительная сила инерции, тело будет пребывать в равновесном состоянии. При этом суммарное значение всех действующих в системе сил, дополненное вектором инерции, получит нулевое значение.

Согласно указанному принципу, в отношении каждой i-той точки системы, становится верным равенство:

$F_i+N_i+J_i=0$, где:

• $F_i$ -активно воздействующая на эту точку сила,
• $N_i$ - реакция связи, наложенной на точку;
• $J_i$ - сила инерции, определяемая формулой $J_i=-m_ia_i$ (она направлена противоположно этому ускорению).

Фактически, отдельно для каждой рассматриваемой материальной точки $ma$ переносится справа налево (второй закон Ньютона):

$F=ma$, $F-ma=0$.

$ma$ при этом называется силой инерции Даламбера.

Такое понятие, как сила инерции, было введено еще Ньютоном. Согласно рассуждениям ученого, при условии движения точки под воздействием силы $F=ma$, тело (или система) – становится источником этой силы. При этом, согласно закону о равенстве действия и противодействия, ускоряемая точка будет влиять на ускоряющее ее тело с силой $Ф=-ma$. Такой силе Ньютон дал название системы инерции точки.

Силы $F$ и $Ф$ будут равными и противоположными, но приложенными к разным телам, что исключает их сложение. Непосредственно на точку сила инерции воздействия не оказывает, поскольку для нее она представляет фиктивную силу. При этом точка оставалась бы в состоянии покоя, если бы, помимо силы $F$, на точку оказывала воздействие еще и сила $Ф$.

Замечание 2

Принцип Даламбера позволяет применять при решении задач динамики более упрощенные методы статики, что объясняет его широкое применение в инженерной практике. На этом принципе основывается метод кинетостатики. Особенно он удобен в применении с целью установления реакций связей в ситуации, когда известен закон происходящего движения или он получен при решении соответствующих уравнений.

Разновидностью принципа Даламбера выступает принцип Германа-Эйлера, фактически представлявшего собой форму данного принципа, но обнаруженную до появления публикации сочинения ученого в 1743 году. При этом принцип Эйлера не рассматривался его автором (в отличие от принципа Даламбера) в качестве основы для общего метода решения задач движения механических систем со связями. Принцип Даламбера считается более целесообразным в применении в случае необходимости определения неизвестных сил (для решения первой задачи динамики).

Принцип Даламбера для материальной точки

Многообразие типов решаемых в механике задач нуждается в разработке эффективных методик составления уравнений движения для механических систем. Одним из подобных методов, позволяющих посредством уравнений описать движение произвольных систем, считается в теоретической механике принцип Даламбера.

Опираясь на второй закон динамики, для несвободной материальной точки запишем формулу:

$m\bar{a}=\bar{F}+\bar{R}$,

где $R$ представляет реакцию связи.

Принимая значение:

$\bar{Ф}=-m\bar{a}$, где $Ф$- сила инерции, получаем:

$\bar{F}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$

Эта формула является выражением принципа Даламбера для материальной точки, согласно которому, для движущейся в любой момент времени точки геометрическая сумма воздействующих на нее активных сил и силы инерции получает нулевое значение. Этот принцип позволяет записывать уравнения статики для движущейся точки.

Принцип Даламбера для механической системы

Для состоящей из $n$-точек механической системы, можно записать $n$-уравнений вида:

$\bar{F_i}+ \bar{R_i}+\bar{Ф_i}=0$

При суммировании всех этих уравнений и введении следующих обозначений:

которые являются главными векторами внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно, получаем:

$\sum{F_i}+\sum{R_i}+\sum{Ф_i}=0$, т. е.

$FE + R + Ф = 0$

Условием для равновесного состояния твердого тела является нулевое значение главных вектора и момента действующих сил. Учитывая это положение и теорему Вариньона о моменте равнодействующей в результате запишем такое соотношение:

$\sum{riF_i}+\sum{riR_i}+\sum{riФ_i} = 0$

примем следующие обозначения:

$\sum{riF_i}=MOF$

$\sum{riR_i}=MOR$

$\sum{riФ_i}=MOФ$

главные моменты внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно.

В итоге получаем:

$\bar{F^E}+\bar{R}+\bar{Ф}=0$

$\bar{M_0^F}+\bar{M_0^R}+\bar{M_0^Ф}=0$

Эти две формулы являются выражением принципа Даламбера для механической системы. В любой момент времени для движущейся механической системы геометрическая сумма главного вектора реакций связей, внешних сил, и сил инерции получает нулевое значение. Также нулевой будет и геометрическая сумма главных моментов от сил инерции, внешних сил и реакций связей.

Полученные формулы являются дифференциальными уравнениями второго порядка из-за присутствия в каждом из них ускорения в силах инерции (второй производной закона движения точки).

Принцип Даламбера позволяет решать методами статики задачи динамики. Для механической системы можно записывать уравнения движения в виде уравнений равновесия. Из таких уравнений можно определить неизвестные силы, в частности, реакции связей (первая задача динамики).

Область применения принципа Даламбера – это динамика несвободных механических систем. Даламбер предложил оригинальный метод решения задач динамики, позволяющий использовать достаточно простые уравнения статики. Он писал: «Данное правило приводит все задачи, относящиеся к движению тел, к более простым задачам о равновесии».

В основу данного метода положены силы инерции. Введем это понятие.

Силой инерции называют геометрическую сумму сил противодействия движущейся материальной частицы телам, сообщающим ей ускорение.

Поясним это определение. На рис. 15.1 показана материальная частица М , взаимодей-ствующая с n материальными объектами. На рис. 15.1 показаны силы взаимодействия: без

щие на самом деле не на частицу, а на тела с массами m 1 , …, m n . Ясно, что равнодейст-вующая этой системы сходящихся сил противодействия, R ’ =ΣF’ k , по модулю равна R и направлена противоположно ускорению, т.е.: R ’ =-ma. Данная сила и является силой инерции, о которой говорится в определении. В дальнейшем будем ее обозначать буквой Ф , т.е.:

В общем случае криволинейного движения точки ускорение представляет собой сумму двух составляющих:

Из (15.4) видно, что составляющие силы инерции направлены противоположно направлениям соответствующих составляющих ускорения точки. Модули составляющих силы инерции определяют по следующим формулам:

где ρ – радиус кривизны траектории точки.

После определения силы инерции рассмотрим принцип Даламбера .

Пусть дана механическая система, состоящая из n материальных точек (рис. 15.2). Возьмем одну из них. Все силы, действующие на k -ю точку, классифицируем по группам:

Выражение (15.6) отражает сущность принципа Даламбера, записанного для одной мате-риальной точки. Повторяя проделанные выше действия по отношению к каждой точке механической системы, можно записать систему n уравнений, подобных (15.6), что и будет являться математической записью принципа Даламбера применительно к механи-ческой системе. Таким образом, сформулируем принцип Даламбера для механической системы:

Если к каждой точке механической системы в любой момент времени, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующую силу инерции, то вся система сил будет приведена в равновесное состояние и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Следует иметь в виду:

Принцип Даламбера можно применять для динамических процессов, протекающих в

инерциальных системах отсчета. Этого же требования, как отмечалось ранее, следует придерживаться и при применении законов динамики;

Силы инерции, которые, согласно методики принципа Даламбера, необходимо прило-

жить к точкам системы, на самом деле на них не действуют. Действительно, если бы они существовали, то вся совокупность сил, приложенных к каждой точке, находилась бы в равновесии, и отсутствовала бы сама постановка задачи динамики.

Для равновесной системы сил можно записать следующие уравнения:

т.е. геометрическая сумма всех сил системы, включая и силы инерции, и геометрическая сумма моментов всех сил относительно произвольного центра равны нулю.

Учитывая свойства внутренних сил системы:

выражения (15.7) можно заметно упростить.

Вводя обозначения главного вектора

и главного момента

выражения (15.7) предстанут в виде:

Уравнения (15.11) являются прямым продолжением принципа Даламбера, но не содержат внутренних сил, что является их несомненным преимуществом. Их использование наиболее эффективно при исследовании динамики механических систем, состоящих из твердых тел.

Принцип Даламбера позволяет сформулировать задачи динамики механических систем как задачи статики. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придают вид уравнений равновесия. Такой метод называют методом кинетостатики .

Принцип Даламбера для материальной точки: «В каждый момент времени движения материальной точки, фактически действующие на нее активные силы, реакции связей и условно приложенная к точке сила инерции образуют уравновешенную систему сил »

Силой инерции точки называют векторную величину, имеющую размерность силы, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно вектору ускорения

. (3.38)

Рассматривая механическую систему как совокупность материальных точек, на каждую из которых действуют, согласно принципу Даламбера, уравновешенные системы сил, имеем следствия из этого принципа применительно к системе. Главный вектор и главный момент относительно любого центра приложенных к системе внешних сил и сил инерции всех ее точек равны нулю:

(3.39)

Здесь внешними силами являются активные силы и реакции связей.

Главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение ее центра масс и направлен в сторону, противоположную этому ускорению

. (3.40)

Главный момент сил инерции системы относительно произвольного центра О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента ее относительно того же центра

. (3.41)

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz , найдем главный момент сил инерции относительно этой оси

. (3.42)

3.8. Элементы аналитической механики

В разделе «Аналитическая механика» рассматривают общие принципы и аналитические методы решения задач механики материальных систем.

3.8.1.Возможные перемещения системы. Классификация

некоторых связей

Возможными перемещениями точек
механической системы называют любые воображаемые, бесконечно малые их перемещения, допускаемые наложенными на систему связями, в фиксированный момент времени. По определению, числом степеней свободы механической системы называют число ее независимых возможных перемещений.

Связи, наложенные на систему, называют идеальными , если сумма элементарных работ их реакций на любом из возможных перемещений точек системы равна нулю

. (3. 43)

Связи, для которых налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы, называют удерживающими . Связи, не изменяющиеся во времени, в уравнения которых явно не входит время, называют стационарными . Связи, ограничивающие только перемещения точек системы, называют геометрическими , а ограничивающие скорости – кинематическими . В дальнейшем будем рассматривать только геометрические связи и те кинематические, которые могут быть путем интегрирования сведены к геометрическим.

3.8.2. Принцип возможных перемещений

Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы

сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на нее, на любых возможных перемещениях системы была равна нулю

. (3.44)

В проекциях на оси координат:

. (3.45)

Принцип возможных перемещений позволяет установить в общей форме условия равновесия любой механической системы, не рассматривая равновесие отдельных ее частей. При этом учитываются только действующие на систему активные силы. Неизвестные реакции идеальных связей в эти условия не входят. Вместе с тем данный принцип позволяет определять неизвестные реакции идеальных связей путем отбрасывания этих связей и введения их реакций в число активных сил. При отбрасывании связей, реакции которых необходимо определить, система приобретает дополнительно соответствующее число степеней свободы.

Пример 1 . Найти зависимость между силами идомкрата, если известно, что при каждом повороте рукояткиАВ = l , винт С выдвигается на величину h (рис. 3.3).

Решение

Возможные перемещения механизма – это поворот рукоятки  и перемещение груза h . Условие равенства нулю элементарных работ сил:

Pl  – Q h = 0;

Тогда
. Так какh  0, то

3.8.3. Общее вариационное уравнение динамики

Рассмотрим движение системы, состоящей из n точек. На нее действуют активные силы и реакции связей .(k = 1,…,n ) Если к действующим силам добавить силы инерции точек
, то, согласно принципу Даламбера, полученная система сил будет находиться в равновесии и, следовательно, справедливо выражение, записанное на основе принципа возможных перемещений (3.44):

. (3.46)

Если все связи идеальные, то 2-я сумма равна нулю и в проекциях на оси координат равенство (3.46) будет выглядеть следующим образом:

Последнее равенство представляет собой общее вариационное уравнение динамики в проекциях на оси координат, которое позволяет составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Общее вариационное уравнение динамики – это математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа : «При движении системы, подчиненной стационарным, идеальным, удерживающим связям, в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к системе, и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю ».

Пример 2 . Для механической системы (рис. 3.4), состоящей из трех тел определить ускорение груза 1 и натяжение троса 1-2, если: m 1 = 5m ; m 2 = 4m ; m 3 = 8m ; r 2 = 0,5R 2 ; радиус инерции блока 2 i = 1,5r 2 . Каток 3 представляет собой сплошной однородный диск.

Решение

Изобразим силы, которые совершают элементарную работу на возможном перемещении s груза 1:

Запишем возможные перемещения всех тел через возможное перемещение груза 1:

Выразим линейные и угловые ускорения всех тел через искомое ускорение груза 1 (отношения такие же, как и в случае возможных перемещений):

.

Общее вариационное уравнение для данной задачи имеет вид:

Подставляя полученные ранее выражения для активных сил, сил инерции и возможных перемещений, после несложных преобразований получим

Так как s  0, следовательно, равно нулю выражение в скобках, содержащее ускорение а 1 , откуда a 1 = 5g /8,25 = 0,606g .

Для определения натяжения троса, удерживающего груз, освободим груз от троса, заменив действие его искомой реакцией . Под действием заданных сил ,и приложенной к грузу силы инерции
он находится в равновесии. Следовательно, к рассматриваемому грузу (точке) применим принцип Даламбера, т.е. запишем, что
. Отсюда
.

3.8.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода

Обобщенные координаты и обобщенные скорости . Любые независимые между собой параметры, однозначно определяющие положение механической системы в пространстве, называют обобщенными координатами . Эти координаты, обозначаемые q 1 ,....q i , могут иметь любую размерность. В частности, обобщенные координаты могут быть перемещениями или углами поворота.

Для рассматриваемых систем число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Положение каждой точки системы является однозначной функцией обобщенных координат

Таким образом, движение системы в обобщенных координатах определяется следующими зависимостями:

Первые производные от обобщенных координат называют обобщенными скоростями :
.

Обобщенные силы. Выражение для элементарной работы силы на возможном перемещении
имеет вид:

.

Для элементарной работы системы сил запишем

Используя полученные зависимости, это выражение можно записать в виде:

,

где обобщенная сила, соответствующая i -й обобщенной координате,

. (3.49)

Таким образом, обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, является коэффициент при вариации этой координаты в выражении суммы элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы. Для вычисления обобщенной силы необходимо сообщить системе возможное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q i . Коэффициент при
и будет искомой обобщенной силой.

Уравнения движения системы в обобщенных координатах . Пусть дана механическая система с s степенями свободы. Зная действующие на нее силы, необходимо, составить дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах
. Применим процедуру составления дифференциальных уравнений движения системы – уравнений Лагранжа 2-го рода – по аналогии вывода этих уравнений для свободной материальной точки. Исходя из 2-го закона Ньютона, запишем

Получим аналог этим уравнениям, используя запись для кинетической энергии материальной точки,

Частная производная от кинетической энергии по проекции скорости на ось
равна проекции количества движения на эту ось, т.е.

Чтобы получить необходимые уравнения, вычислим производные по времени:

Полученная система уравнений является уравнениями Лагранжа 2-го рода для материальной точки.

Для механической системы уравнения Лагранжа 2-го рода представим в виде уравнений, в которых вместо проекций активных сил P x , P y , P z используют обобщенные силы Q 1 , Q 2 ,...,Q i и учитывают в общем случае зависимость кинетической энергии от обобщенных координат.

Уравнения Лагранжа 2-го рода для механической системы имеют вид:

. (3.50)

Их можно использовать для изучения движения любой механической системы с геометрическими, идеальными и удерживающими связями.

Пример 3 . Для механической системы (рис. 3.5), данные для которой приведены в предыдущем примере, составить дифференциальное уравнение движения, используя уравнение Лагранжа 2-го рода,

Решение

Механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем линейное перемещение груза q 1 = s ; обобщенная скорость – . С учетом этого запишем уравнение Лагранжа 2-го рода

.

Составим выражение для кинетической энергии системы

.

Выразим все угловые и линейные скорости через обобщенную скорость:

Теперь получим

Вычислим обобщенную силу, составив выражение элементарной работы на возможном перемещении s всех действующих сил. Без учета сил трения работу в системе производит только сила тяжести груза 1
Запишем обобщенную силу при s , как коэффициент в элементарной работе Q 1 = 5mg . Далее найдем

Окончательно дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:

Если рассматривать систему, которая состоит из нескольких материальных точек, выделяя одну определенную точку с известной массой, то под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил она получает некоторое ускорение по отношению к инерциальной системе отсчета. Среди таких сил могут быть как активные силы, так и реакции связи.

Сила инерции точки - это векторная величина, которая равна по модулю произведению массы точки на ее ускорение. Данную величину иногда упоминают как даламберовскую силу инерции, она направлена противоположно ускорению. В этом случае обнаруживается следующее свойство движущейся точки: если в каждый момент времени прибавить силу инерции к фактически действующим на точку силам, то полученная система сил будет уравновешена. Так можно сформулировать принцип Даламбера для одной материальной точки. Данное утверждение полностью соответствует второму закону Ньютона.

Принципы Даламбера для системы

Если повторить все рассуждения для каждой точки в системе, они приводят к следующему выводу, который выражает принцип Даламбера, сформулированный для системы: если в любой момент времени приложить к каждой из точек в системе, помимо фактически действующих внешних и внутренних сил, то данная система будет находиться в равновесии, поэтому к ней можно применять все уравнения, которые используются в статике.

Если применять принцип Даламбера для решения задач динамики, то уравнения движения системы можно составить в форме известных нам уравнений равновесия. Данный принцип значительно упрощает расчеты и делает подход к решению задач единым.

Применение принципа Даламбера

Следует учитывать, что на движущуюся точку в механической системе действуют только внешние и внутренние силы, которые возникают как результат взаимодействия точек между собой, а также с телами, не входящими в данную систему. Точки движутся с определенными ускорениями под действием всех этих сил. Силы инерции не действуют на движущиеся точки, в противном случае они бы двигались без ускорения или были в покое.

Силы инерции вводятся лишь для того, чтобы составить уравнения динамики при помощи более простых и удобных методов статики. Учитывается также, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равна нулю. Использование уравнений, которые вытекают из принципа Даламбера, делает процесс решения задач проще, так как данные уравнения уже не содержат внутренних сил.

Принцип Даламбера

Основной труд Ж.Л. Даламбера (1717-1783) - "Трактат о динамике» - была опубликована в 1743

Первая часть трактата посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует "основные принципы механики", среди которых "принцип инерции", "принцип добавления движений" и "принцип равновесия".

"Принцип инерции" сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного движения. "Силой инерции, - пишет Даламбер, т я вместе с Ньютоном называю свойство тела сохранять то состояние, в котором оно находится".

"Принцип добавления движений" представляет собой закон сложения скоростей и сил по правилу параллелограмма. На основе этого принципа Даламбер решает задачи статики.

"Принцип равновесия" сформулировано в виде следующей теоремы: "Если два тела движущихся со скоростями, обратнопропорциональна их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места на другое тело, то эти тела будут находиться в состоянии равновесия" . Во второй части «Трактата» Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи динамики к статике. Он сформулировал правило для любой системы материальных точек, названное впоследствии "принципом Даламбера", согласно которому приложены к точкам системы силы можно разложить на "действующие", то есть такие, которые вызывают ускорение системы, и "потерянные", необходимые для равновесия системы. Даламбер считает, что силы, которые соответствуют "потерянным" ускорением, образуют такую совокупность, которая никак не влияет на фактическое поведение системы. Иными словами, если к системе приложить только совокупность "потерянных" сил, то система останется в покое. Современная формулировка принципа Даламбера дал М Е. Жуковский в своем "Курсе теоретической механики": "Если в какой-либо момент времени остановить систему, движется, и добавить к ней, кроме ее движущих сил, еще все силы инерции, соответствующие данному моменту времени, то будет наблюдаться равновесие, при этом все силы давления, натяжения и т.д. развивающихся между частями системы при такой равновесии, будут настоящими силами давления, натяжения и т.д. при движении системы в рассматриваемый момент времени ". Следует отметить, что сам Даламбер при изложении своего принципа не прибегал ни к понятию силы (считая, что оно не является достаточно четким, чтобы входить в перечень основных понятий механики), ни тем более к понятию силы инерции. Изложение принципа Даламбера с применением термина "сила" принадлежит Лагранжа, который в своей "Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа возможных перемещений. Именно Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) и особенно Леонардо Эйлер (1707-1783) видиигралы существенную роль в окончательном превращении механики на аналитическую механику.

Аналитическая механика материальной точки и динамика твердого тела Эйлера

Леонардо Эйлер - один из выдающихся ученых, который внес большой вклад в развитие физико-математических наук в XVIII в. Его творчество поражает проницательностью исследовательской мысли, универсальностью дарования и огромным объемом оставленной научного наследия.

Уже в первые годы научной деятельности в Петербурге (Эйлер приехал в Россию в 1727 г..) Он составил программу грандиозного и всеобъемлющего цикла работ в области механики. Это приложение находится в его двухтомном труде "Механика или наука о движении, изложенная аналитически" (1736). "Механика" Эйлера была первым систематическим курсом ньютоновской механики. Она содержала основы динамики точки - под механикой Эйлер понимал наукучхро движение, в отличие от науки о равновесии сил, или статики. Определяющей чертой "Механики" Эйлера было широкое использование нового математического аппарата - диференциальнотвчй интегрального исчислений. Коротко охарактеризовав основные труды по механике, появившиеся на рубеже XVII-XVIII вв., Эйлер отмечал сын-тетико-геометрический стиль их викладу.що создавал для читателей очень много труда. Именно в такой манере написаны "Начала" Ньютона и более поздняя "Фо-рономия" (1 716) Я. Германа. Эйлер указывает, что работы Германа и Ньютона изложенные "по обычаю древних с помощью синтетических геометрических доказательств" без применения анализа, "только благодаря которому и можно достичь полного понимания этих вещей".

Синтетика-геометрический метод не имел обобщающего характера, а требовал, как правило, индивидуальных построений относительно каждой задачи в отдельности. Эйлер признается, что после изучения "Форономии" и "Начал" он, как ему казалось, "достаточно ясно понял решения многих задач, однако задач, какой-то мере отступают от них, уже решить не мог". Тогда он попытался "выделить анализ по этому синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проделать аналитически". Эйлер отмечает, что благодаря этому он значительно лучше понял суть вопроса. Он разработал принципиально новые методы исследования проблем механики, создал ее математический аппарат и блестяще применил его ко многим сложных задач. Благодаря Эйлеру дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление стали инструментом механики. Метод Эйлера, развитый позднее его преемниками, был однозначным и адекватным предмету.

Работа Эйлера по динамике твердого тела "Теория движения твердых тел" имеет большой вступление из шести разделов, где снова изложены динамику точки. В вступление внесен ряд изменений: в частности, уравнения движения точки записываются с помощью проектирования на оси неподвижных прямоугольных координат (а не на касательную, главную нормаль и нормаль, то есть оси недвижимого природного трехгранника, связанного с точками траектории, как в "Механике") .

Следующий после вступления «Трактат о движении твердых тел" состоит из 19 разделов. В основу трактата положен принцип Даламбера. Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер рассматривает вращения вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь представлены формулы для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера и т.д. Далее изложены свойства момента инерции, после чего Эйлер переходит собственно к динамике твердого тела. Он выводит дифференциальные уравнения вращения тяжелого тела вокруг его недвижимого центра тяжести при отсутствии, внешних сил и решает их для простого частного случая. Так возникла известная и столь же важна в теории гироскопа задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Эйлер работал также над теорией судостроения, в глазах гидро- и аэромеханики, баллистики, теории устойчивости и теории малых колебаний, небесной механики и др.

Через восемь лет после выхода "Механики" Эйлер обогатил науку первым точной формулировкой принципа наименьшего действия. Формулировка принципа наименьшего действия, которые принадлежали Мопертюи, были еще очень несовершенны. Первое научное формулировка принципа принадлежит Эйлеру. Он сформулировал свой принцип следующим образом: интеграл имеет наименьшее значение для настоящей траектории, если рассматривать

последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положение и осуществляются с тем же значением энергии. Эйлер предоставляет своему принципу точного математического выражения и строгого обоснования для одной материальной точки, испытывает действия центральных сил. В течение 1746-1749 pp. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наименьшего действия были применены к задачам, в которых действуют упругие силы.

Таким образом, к 1744 механика обогатилась двумя важными принципами: принципом Даламбера и принципу наименьшего действия Мопертюи-Эйлера. Опираясь на эти принципы, Лагранж построил систему аналитической механики.